כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\fbox{\thepage}\leftmark
סדרות\fbox{\thepage}
1 גבול של סדרה
1.1 הגדרות
הגדרה 1.1. תהא \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת פסוקים לוגיים.
נאמר ש-\(P_{n}\) מתקיימת באופן שכיח אם לכל \(N\in\MKnatural\) קיים \(N<n\in\MKnatural\) כך ש-\(P_{n}=\text{True}\).
נאמר ש-\(P_{n}\)מתקיימת ממקום מסוים ואילך/ עבור \(n\) גדול דיו/ כמעט תמיד אם קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(P_{n}=\text{True}\).
\(\clubsuit\)
מכאן ואילך כל הסדרות שנדבר עליהן הן סדרות אינסופיות של מספרים ממשיים אלא אם נכתב אחרת.
תזכורת:
הגדרנו את הכדור הפתוח שרדיוסו \(r\in\MKreal\) מסביב לנקודה \(\alpha\in\MKreal\) ע"י \(B_{r}\left(\alpha\right):=\left(\alpha-r,\alpha+r\right)\).
הסכמה:
נסכים שבכל מקום שבו נכתב ביטוי מהצורה \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L\) או \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\) הכוונה היא שהגבול קיים ומתקיים השוויון.
\(\clubsuit\)
כלומר בכל הקשור להתכנסות לא מעניין אותנו מה קורה בתחילת הסדרה אלא אך ורק מה שקורה באין-סוף.
הגדרה 1.2. גבול של סדרה
נאמר ש-\(L\in\MKreal\) הוא גבול של סדרה\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ועבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}\in B_{\varepsilon}\left(L\right)\), כלומר לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon\).
בקובץ הטענות נראה שגבול של סדרה הוא יחיד, כלומר אם \(\alpha\in\MKreal\) וגם \(\beta\in\MKreal\) הם גבולות1המשפט אינו נכון מבחינה לשונית משום שמדובר במספר אחד ולכן לא שייך לדבר עליו ברבים, אך הכוונה ברורה ולפני שהמשכנו ואמרנו שהם שווים לא ידענו שבהכרח מדובר באותו מספר (לא יכולתי להתאפק...). של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אז \(\alpha=\beta\); לכן מוצדק לדבר על הגבול של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ולכתוב:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L,\ a_{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}L
\]
סדרה תקרא מתכנסת אם יש לה גבול, אחרת תקרא מתבדרת. כלומר:
סדרה תקרא מתכנסת אם קיים \(L\in\MKreal\) כך שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon\), במקרה כזה נאמר שהסדרה מתכנסת ל-\(L\).
סדרה תקרא מתבדרת אם לכל \(L\in\MKreal\) קיים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שלכל \(N\in\MKnatural\) קיים \(N<n\in\MKnatural\) כך שמתקיים \(\left|a_{n}-L\right|\geq\varepsilon\).
טענה 1.3. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות ויהי \(\alpha\in\MKreal\), אם קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}=b_{n}\) אז \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(\alpha\) אם"ם \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(\alpha\).
למה 1.4. יהיו \(\alpha,\beta\in\MKreal\) כך ש-\(\alpha\neq\beta\), קיים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שהקבוצות \(B_{\varepsilon}\left(\alpha\right)\) ו-\(B_{\varepsilon}\left(\beta\right)\) זרות (כלומר \(B_{\varepsilon}\left(\alpha\right)\cap B_{\varepsilon}\left(\beta\right)=\emptyset\)).
למה 1.5. תהיינה \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(Q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות פסוקים לוגיים, אם \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתקיימת ממקום מסוים ואילך וגם \(\left(Q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתקיימת מסוים ואילך אז \(\left(P_{n}\land Q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתקיימת ממקום מסוים ואילך.
משפט 1.6. יחידות הגבול תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מתכנסת, אם \(\alpha\in\MKreal\) וגם \(\beta\in\MKreal\) הם גבולות2המשפט אינו נכון מבחינה לשונית משום שמדובר במספר אחד ולכן לא שייך לדבר עליו ברבים, אך הכוונה ברורה ולפני שהמשכנו ואמרנו שהם שווים לא ידענו שבהכרח מדובר באותו מספר (לא יכולתי להתאפק...). של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אז \(\alpha=\beta\).
\(\:\)
2 חסימות וסדר
2.1 הגדרות
הגדרה 2.1. סדרות חסומות מלעיל/מלרע
סדרה תקרא חסומה/חסומה מלעיל/חסומה מלרע אם קבוצת איבריה כזו.
מספר ממשי ייקרא חסם מלעיל/מלרע של סדרה אם הוא חסם מלעיל/מלרע של קבוצת איבריה.
מספר ממשי ייקרא חסם עליון/תחתון של סדרה אם הוא חסם מלעיל/מלרע של קבוצת איבריה.
הגדרה 2.2. סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תקרא סדרה חיובית/שלילית/אי-שלילית/אי-חיובית אם כל איבריה חיוביים/שליליים/אי-שליליים/אי-חיוביים.
\(\:\)
משפט 2.3. כל סדרה מתכנסת היא סדרה חסומה.
טענה 2.4. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות מתכנסות (נסמן את גבולותיהן ב-\(\alpha\) ו-\(\beta\) בהתאמה), אם \(\alpha<\beta\) אז עבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}<b_{n}\), כלומר קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}<b_{n}\).
מסקנה 2.5. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המתכנסת ל-\(\alpha\in\MKreal\) ויהי \(\alpha<\beta\in\MKreal\), עבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}<\beta\), כלומר קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}<\beta\).
טענה 2.6. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות מתכנסות (נסמן את גבולותיהן ב-\(\alpha\) ו-\(\beta\) בהתאמה),
אם עבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}\leq b_{n}\) אז \(\alpha\leq\beta\).
אם \(\alpha<\beta\) אז עבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}<b_{n}\).
\(\clubsuit\)
גם אם היה נתון בסעיף1 שעבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}<b_{n}\) עדיין נוכל לומר רק ש-\(\alpha\leq\beta\) ולא ש-\(\alpha<\beta\), כמו כן גם אם היינו יודעים בסעיף2שמתקיים רק \(\alpha\leq\beta\) לא היינו יכולים לומר דבר על היחס בין \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ל-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) באין-סוף.
משפט 2.7. משפט הכריך תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות המתכנסות ל-\(L\in\MKreal\) ותהא \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה כך שעבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}\), גם \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(L\).
3 אריתמטיקה של גבולות
3.1 הגדרות
הגדרה 3.1. סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) תקרא סדרה חשבונית אם קיים \(d\in\MKreal\) כך שלכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(a_{n+1}=a_{n}+d\), \(d\) כזה הוא יחיד וייקרא הפרש הסדרה.
הגדרה 3.2. סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\)תקרא סדרה הנדסית אם קיים \(q\in\MKreal\) כך שלכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(a_{n+1}=a_{n}\cdot q\), \(q\) כזה הוא יחיד וייקרא מנת הסדרה.
\(\:\)
3.2 התחלה
למה 3.3. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה ויהי \(\alpha\in\MKreal\), הפסוקים הבאים שקולים:
טענה 3.4. אם סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת אז \(\left(\left|a_{n}\right|\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(\left|\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\right|\).
\(\clubsuit\)
שלוש הלמות הבאות נדרשות להוכחת משפט האריתמטיקה של גבולות (להלן).
למה 3.5. יהיו \(\alpha,\beta\in\MKreal\), יהי \(0<r\in\MKreal\) ויהיו \(x\in B_{r}\left(\alpha\right),\ y\in B_{r}\left(\beta\right)\), מתקיים \(x+y\in B_{2r}\left(\alpha+\beta\right)\).
למה 3.6. יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ויהיו \(\alpha,\beta,x,y\in\MKreal\), אם \(\begin{alignedat}{1}\left|x-\alpha\right|<\frac{\varepsilon}{2\left(\left|\beta\right|+1\right)}\end{alignedat}
\) וגם \(\begin{alignedat}{1}\left|y-\beta\right|<\min\left\{ 1,\frac{\varepsilon}{2\left(\left|\alpha\right|+1\right)}\right\} \end{alignedat}
\) אז \(\left|x\cdot y-\alpha\cdot\beta\right|<\varepsilon\).
משפט 3.8. אריתמטיקה של גבולות תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות המתכנסות ל-\(\alpha\in\MKreal\) ו-\(\beta\in\MKreal\) בהתאמה, מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
אם \(\beta\neq0\) אז \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{\beta}\).
אם \(\beta\neq0\) אז \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\alpha}{\beta}\).
מסקנה 3.9. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המתכנסת ל-\(\alpha\in\MKreal\) ויהי \(b\in\MKreal\), הסדרה \(\left(b\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(b\cdot\alpha\).
3.3 טענות נוספות
משפט 3.10. כלל אפסה וחסומה תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המתכנסת ל-\(0\) ותהא \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חסומה, הסדרה \(\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(0\).
למה 3.11. יהי \(q\in\left(0,1\right)\), הסדרה \(\left(q^{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(0\).
הוכחה. \[
0<q<1\Rightarrow1<\frac{1}{q}
\]נגדיר \(h:=\frac{1}{q}-1\) (נשים לב ש-\(0<h\)), כלומר \(q=\frac{1}{h+1}\) ומכאן שע"פ א"ש ברנולי לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
0<q^{n}=\frac{1}{\left(h+1\right)^{n}}\leq\frac{1}{1+n\cdot h}<\frac{1}{n\cdot h}
\]מאריתמטיקה של גבולות וממשפט הכריך נקבל את המבוקש.
טענה 3.12. יהי \(0<q\in\MKreal\), הסדרה \(\left(\sqrt[n]{q}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(1\).
הוכחה. נחלק למקרים.
אם \(q=1\) הטענה טריוויאלית.
נניח ש-\(q<1\) ונניח בשלילה ש-\(\left(\sqrt[n]{q}\right)_{n=1}^{\infty}\) אינה מתכנסת ל-\(1\), א"כ קיים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שלכל \(N\in\MKnatural\) קיים \(N<n\in\MKnatural\) כך ש-\(1-\sqrt[n]{q}=\left|\sqrt[n]{q}-1\right|\geq\varepsilon\). יהי \(\varepsilon<1\) כנ"ל, א"כ לכל \(N\in\MKnatural\) קיים \(N<n\in\MKnatural\) כך שמתקיים:\[
1-\sqrt[n]{q}\geq\varepsilon
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow1-\varepsilon\geq\sqrt[n]{q}>0\\
& \Rightarrow\left(1-\varepsilon\right)^{n}\geq q>0
\end{align*}\]מלמה3.9, הסדרה \(\left(\left(1-\varepsilon\right)^{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(0\), כלומר קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left(1-\varepsilon\right)^{n}<q\)בסתירה למה שראינו לעיל, מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(\left(\sqrt[n]{q}\right)_{n=1}^{\infty}\)מתכנסת ל-\(1\).
נניח ש-\(1<q\), מכאן ש-\(0<\frac{1}{q}<1\), במקרה הקודם הוכחנו כי:\[
1=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{q}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{q}}
\]מאריתמטיקה של גבולות נקבל:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{q}=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{q}}}=1
\]
משפט 3.13. משפט צ'זארו (Cesàro)3ערך בוויקיפדיה האנגלית: Ernesto Cesàro. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המתכנסת ל-\(\alpha\in\MKreal\), גם הסדרה \(\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty}\) (שהיא סדרת הממוצעים של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\)) מתכנסת ל-\(\alpha\).
הוכחה. יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\). מהיות \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מתכנסת קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}-\alpha\right|<\frac{\varepsilon}{2}\), יהי \(N\) כנ"ל. כל קבוצה סופית היא קבוצה חסומה, מכאן שקיים \(M\in\MKreal\) כך שלכל \(N\geq n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}\right|\leq M\), יהי \(M\) כזה. מכאן שלכל \(N\geq n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}-\alpha\right|\leq\left|a_{n}\right|+\left|\alpha\right|\leq M+\left|\alpha\right|\). לכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left|\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)-\alpha\right| & =\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-\alpha\right)\right|\\
& \leq\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{N}\left(a_{k}-\alpha\right)\right|+\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=N+1}^{n}\left(a_{k}-\alpha\right)\right|\\
& =\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{N}\left|a_{k}-\alpha\right|+\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=N+1}^{n}\left|a_{k}-\alpha\right|\\
& \leq\frac{N\cdot\left(M+\left|\alpha\right|\right)}{n}+\frac{n-N}{n}\cdot\frac{\varepsilon}{2}
\end{align*}\]נגדיר:\[
N':=\max\left\{ N,\frac{2N\cdot\left(M+\left|\alpha\right|\right)}{\varepsilon}\right\}
\]מכאן שלכל \(N'<n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}\right)-\alpha\right|\leq\frac{N\cdot\left(M+\left|\alpha\right|\right)}{n}+\frac{n-N}{n}\cdot\frac{\varepsilon}{2}<\frac{N\cdot\left(M+\left|\alpha\right|\right)}{\frac{2N\cdot\left(M+\left|\alpha\right|\right)}{\varepsilon}}+\frac{\varepsilon}{2}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]
למה 3.14. לכל \(0<x_{1},x_{2},...,x_{n}\in\MKreal\) מתקיים:\[
\prod_{i=1}^{n}x_{i}=1\Rightarrow n\leq\sum_{i=1}^{n}x_{i}
\]
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה. בסיס האינדוקציה לכל \(0<x_{1}\in\MKreal\) מתקיים:\[
\prod_{i=1}^{1}x_{i}=1\ \Rightarrow\ x_{1}=1\geq1=\sum_{i=1}^{1}x_{i}
\]צעד האינדוקציה יהי \(n\in\MKnatural\) ונניח שלכל \(0<x_{1},x_{2},...,x_{n}\in\MKreal\) המקיימים \(x_{1}\cdot x_{2}\cdot...\cdot x_{n}=1\) מתקיים \(n\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\). יהיו \(0<x_{1},x_{2},...,x_{n},x_{n+1}\in\MKreal\) כך ש-\(x_{1}\leq x_{2}\leq...\leq x_{n}\leq x_{n+1}\) וגם \(x_{1}\cdot x_{2}\cdot...\cdot x_{n}\cdot x_{n+1}=1\).\[\begin{align*}
& \Rightarrow x_{1}\leq1,\ 1\leq x_{n+1}\\
& \Rightarrow0\leq1-x_{1},\ 0\leq x_{n+1}-1\\
& \Rightarrow{\color{green}1}\leq{\color{blue}x_{1}}{\color{green}+x_{n+1}}{\color{red}-x_{1}\cdot x_{n+1}}
\end{align*}\]מהנחת האינדוקציה נובע שמתקיים: \(n\leq x_{2}+...+x_{n}+x_{1}\cdot x_{n+1}\),\[\begin{align*}
\Rightarrow n+{\color{green}1} & \leq x_{2}+...+x_{n}{\color{red}+x_{1}\cdot x_{n+1}}+{\color{blue}x_{1}}+{\color{green}x_{n+1}}{\color{red}-x_{1}\cdot x_{n+1}}\\
& ={\color{blue}x_{1}}+x_{2}+...+x_{n}+{\color{green}x_{n+1}}
\end{align*}\]
משפט 3.15. אי-שוויון הממוצעים תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חיובית, לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}\right)^{-1}\leq\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\leq\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}a_{k}
\]כלומר: לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים הממוצע החשבוני \(\leq\) הממוצע הגאומטרי \(\leq\) הממוצע ההרמוני (של כל איברי הסדרה עד ל-\(a_{n}\)).
הוכחה. יהי \(n\in\MKnatural\) ונבנה סדרה בת \(n\) איברים \(\left(b_{k}\right)_{k=1}^{n}\) כשלכל \(n\geq k\in\MKnatural\) האיבר ה-\(k\) יהיה:\[
b_{k}:=\frac{a_{k}}{\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}a_{j}}}
\]\[
\Rightarrow\prod_{k=1}^{n}b_{k}=\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}a_{j}}}=\frac{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}{\prod_{j=1}^{n}a_{j}}=1
\]מהלמה נקבל:\[
n\leq\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}a_{j}}}=\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}a_{j}}}
\]\[
\Rightarrow\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}a_{j}}\leq\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}a_{k}
\]נתבונן בסדרה \(\left(\frac{1}{a_{n}}\right)_{n=1}^{\infty}\), מהשורה הקודמת נובע שמתקיים:\[
0<\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[n]{a_{k}}}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}}\leq\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}
\]\[
\Rightarrow0<\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}\right)^{-1}\leq\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[n]{a_{k}}}\right)^{-1}=\prod_{k=1}^{n}\sqrt[n]{a_{k}}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}
\]
מסקנה 3.16. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חיובית המתכנסת ל-\(0\neq\alpha\in\MKreal\), גם הסדרות \(\left(\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}\right)^{-1}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסות ל-\(\alpha\).
\(\clubsuit\)
יחד עם משפט צ'זארו נוכל לומר שכל שלושת הממוצעים של סדרה חיובית מתכנסים לגבול שלה (אם הוא קיים ושונה מ-\(0\)).
הוכחה. מאריתמטיקה של גבולות נובע שהסדרה \(\left(\frac{1}{a_{n}}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(\frac{1}{\alpha}\) ולכן ממשט צ'זארו נובע שמתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}\right)=\frac{1}{\alpha}
\]ושוב מאריתמטיקה של גבולות נובע שמתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{\alpha}\right)^{-1}=\alpha
\]ולכן מאי-שוויון הממוצעים וממשפט הכריך נובע שמתקיים גם:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}=\alpha
\]
הוכחה. תהא \(\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י \(b_{1}=1\) ו-\(b_{k}=\frac{k}{k-1}\) (לכל \(1<k\in\MKnatural\)), מכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\prod_{k=1}^{n}b_{k}=n
\]ולכן מהמסקנה הקודמת ומאריתמטיקה של גבולות נקבל שמתקיים:\[
1=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{k}{k-1}=\lim_{k\rightarrow\infty}b_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}b_{k}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}
\]
3.4 סדרה חשבונית וסדרה הנדסית
טענה 3.18. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) סדרה חשבונית ויהי \(d\in\MKreal\) הפרש הסדרה, לכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(a_{n}=a_{0}+d\cdot n\).
טענה 3.19. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) סדרה חשבונית ויהי \(d\in\MKreal\) הפרש הסדרה, לכל \(N\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\sum_{k=0}^{n}a_{k}=\frac{n}{2}\cdot\left(a_{0}+a_{n}\right)=\frac{n}{2}\cdot\left(2a_{0}+d\cdot n\right)
\]
\(\clubsuit\)
כדי להוכיח את הטענה הזו די לשים לב לכך שלכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(a_{k}+a_{n-k}=a_{0}+a_{n}\).
\(\clubsuit\)
נשים לב לאינטואיציה מעניינת עבור הנוסחה:\[\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}10^{k} & =\overset{\text{n+1 פעמים}}{\overbrace{1111111111111111}}=\frac{\overset{\text{n+1 פעמים}}{\overbrace{999999999999999}}}{9}\\
& =\frac{\overset{\text{n+1 פעמים}}{1\overbrace{000000000000000}}-1}{9}=\frac{10^{n+1}-1}{9}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}
\end{align*}\]כמובן שזה לא מיוחד עבור \(10\), זה יעבוד לכל בסיס ספירה שנבחר (כלומר לכל \(1<q\in\MKnatural\)). ניתן אפילו להמציא בסיס ספירה עבור כל מספר ממשי חיובי השונה מ-\(1\), כך למשל אם נרצה להציג את \(\pi\) בבסיס ספירה \(\sqrt{2}\) נקבל מספר בן ארבע ספרות משמאל לנקודה (כי \(\left(\sqrt{4}\right)^{4}>\pi>\left(\sqrt{2}\right)^{3}\)) ו"אין-סוף" ספרות אחריה (כי א"א להציג את השארית כסכום של שברים מהצורה )\(\left(\sqrt{2}\right)^{-n}\)(: הספרה השמאלית ביותר תהיה \(1\) )כי אין לנו ספרה גדולה יותר(, שלוש הספרות הבאות תהיינה \(0\) כי \(\pi-\left(\sqrt{2}\right)^{3}<\left(\sqrt{2}\right)^{0}<\sqrt{2}<\left(\sqrt{2}\right)^{2}\), שלוש הספרות הראשונות אחרי הנקודה תהיינה גם הן אפסים כי \(\pi-\left(\sqrt{2}\right)^{3}<\left(\sqrt{2}\right)^{-3}<\left(\sqrt{2}\right)^{-2}<\left(\sqrt{2}\right)^{-1}\) והספרה הבאה תהיה \(1\) כי \(\pi-\left(\sqrt{2}\right)^{3}>\left(\sqrt{2}\right)^{-4}\) וכן הלאה, הגבול של הסדרה הזו הוא הוא אכן \(\pi\) )לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(0<\left(\sqrt{2}\right)^{-n}<\varepsilon\)(4עבור מספר חיובי קטן מ-\(1\) התפקידים של "משמאל לנקודה" ו-"מימין לנקודה" מתהפכים..
\(\clubsuit\)
א"א לעבוד עם בסיס ספירה שלילי, ועבור בסיסי ספירה קטנים מ-\(1\) האינטואיציה לא תעבוד מפני שכאשר נחסיר מהם \(1\) נקבל "ספרה" שלילית; למרות זאת הפירמול של הוכחה זו עובד גם עבור מספרים קטנים מ-\(1\) ומספרים שליליים5תודתי נתונה למשה רוזנשטיין על העיון המשותף בנושא..
\(\clubsuit\)
כמובן שאם \(q=1\) אז הסכום החלקי ה-\(n\)-י הוא \(a_{0}\cdot\left(n+1\right)\).
טענה 3.20. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) סדרה הנדסית ותהא \(q\in\MKreal\) הפרש הסדרה, לכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}\).
טענה 3.21. לכל \(1\neq q\in\MKreal\) ולכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}
\]
מסקנה 3.22. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) סדרה הנדסית כך ש-\(1\neq q\in\MKreal\) היא מנת הסדרה, לכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\sum_{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1}
\]
מסקנה 3.23. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) סדרה הנדסית כך שמנת הסדרה \(q\in\MKreal\) מקיימת \(\left|q\right|<1\), מתקיים:\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}:=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}\cdot\frac{1}{1-q}
\]
הוכחה. מהמסקנה הקודמת )3.20(, מלמה 3.96הסדרה \(\left(q^{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) "כלואה" בין הסדרות \(\left(\left|q\right|^{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ל-\(\left(-\left|q\right|^{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וע"פ הלמה שתיהן מתכנסות ל-\(0\) )עבור הסדרה השנייה יש להשתמש גם באריתמטיקה של גבולות(. ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי:\[\begin{align*}
\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N}a_{n} & =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_{0}\cdot q^{n}\right)=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(a_{0}\cdot\frac{q^{N+1}-1}{q-1}\right)\\
& =\frac{a_{0}}{q-1}\cdot\lim_{N\rightarrow\infty}\left(q^{N+1}-1\right)\\
& =\frac{a_{0}}{q-1}\cdot\left[0-1\right]=a_{0}\cdot\frac{1}{1-q}
\end{align*}\]
\(\:\)
4 גבולות במובן הרחב
4.1 הגדרות
הגדרה 4.1. שאיפה ל-\(\pm\infty\)
סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תקרא שואפת לאין-סוף אם לכל \(M\in\MKreal\) ועבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}>M\),
כלומר קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}>M\).
נסמן:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty
\]
סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תקרא שואפת למינוס אין-סוף אם לכל \(m\in\MKreal\) ועבור \(n\) גדול דיו מתקיים \(a_{n}<m\),
כלומר קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}<m\).
נסמן:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty
\]
אם סדרה שואפת ל-\(\pm\infty\) נאמר שהיא מתכנסת במובן הרחב וש-\(\pm\infty\) הוא גבול שלה במובן הרחב.
\(\clubsuit\)
חשוב לשים לב: סדרות השואפות לאין-סוף / למינוס אין-סוף הן סדרות מתבדרות.
\(\clubsuit\)
מה שהטענה אומרת בעצם הוא שלכל סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}\right|=\infty\Longleftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}=0
\]
טענה 4.2. סדרה השואפת לאין-סוף אינה חסומה מלעיל, כמו כן, סדרה השואפת למינוס אין-סוף אינה חסומה מלרע.
משפט 4.3. משפט הפרוסה תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות המקיימות \(a_{n}\leq b_{n}\) ממקום מסוים ואילך;
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שואפת לאין-סוף אז גם \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שואפת לאין-סוף,
כמו כן, אם \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שואפת למינוס אין-סוף אז גם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שואפת למינוס אין-סוף.
טענה 4.4. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת מספרים שונים מ-\(0\)
אם \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\) אז \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left|a_{n}\right|}=\infty\).
אם \(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}\right|=\infty\) אז \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}=0\).
5 מונוטוניות
5.1 הגדרות
הגדרה 5.1. סדרות מונוטוניות
סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תקרא מונוטונית עולה אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n+1}\geq a_{n}\).
סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תקרא עולה ממש7יש אומרים מונוטונית עולה ממש וכן לגבי מונוטונית יורדת ממש. אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n+1}>a_{n}\).
סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תקרא מונוטונית יורדת אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n+1}\leq a_{n}\).
סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תקרא יורדת ממש אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n+1}<a_{n}\).
\(\:\)
טענה 5.2. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מונוטונית ויהיו \(n,m\in\MKnatural\) כך ש-\(n<m\),
אם היא מונוטונית עולה אז \(a_{m}\geq a_{n}\).
אם היא עולה ממש אז \(a_{m}>a_{n}\).
אם היא מונוטונית יורדת אז \(a_{m}\leq a_{n}\).
אם היא יורדת ממש אז \(a_{m}<a_{n}\).
משפט 5.3. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מונוטונית,
אם היא מונוטונית עולה וחסומה מלעילאז היא מתכנסת )במובן הצר, גבולה הוא הסופרמום שלה(, אחרת היא שואפת לאין-סוף.
אם היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע אז היא מתכנסת )במובן הצר, גבולה הוא האינפימום שלה(, אחרת היא שואפת למינוס אין-סוף.
מסקנה 5.4. כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב.
למה 5.5. לכל \(4\leq k\in\MKnatural\) מתקיים \(2^{k}<k!\).
טענה 5.6. הסדרה \(\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מונוטונית עולה וחסומה ומכאן שהיא מתכנסת.
\(\clubsuit\)
הגבול של סדרה זו הוא הקבוע המתמטי \(e\) )זוהי הדרך הקלאסית להגדיר אותו(, ניתקל בו שוב בקבצים העוסקים בפונקציות ובנגזרות כאשר נדבר על פונקציית האקספוננט.
הוכחה. מהבינום של ניוטון נובע שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} & =\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{k}\right)\\
& =\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k!}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{k}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\left(n-j\right)\right)\\
& =\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k!}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\right)
\end{align*}\]נשים לב לכך שלכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\frac{1}{k!}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\leq\frac{1}{k!}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n+1}\right)
\]ומכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k!}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\right)\leq\sum_{k=0}^{n+1}\left(\frac{1}{k!}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\right)=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}
\]בנוסף נובע מהנוסחה הנ"ל ומלמה 5.4 שלכל \(4\leq n\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} & =\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k!}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\right)\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\sum_{k=4}^{n}\frac{1}{k!}\\
& \leq1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\sum_{k=4}^{n}\frac{1}{2^{k}}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\\
& =1+1+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{3}{24}<2\frac{19}{24}\thickapprox2.7916667
\end{align*}\]
משפט 5.7. הלמה של קנטור תהא \(\left(I_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת קטעים סגורים )נסמן \(\left[a_{n},b_{n}\right]:=I_{n}\)( המקיימת:
\(I_{n+1}\subseteq I_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\).
משפט 5.8. קיים \(c\in\MKreal\) יחיד המקיים:\[
\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}=\left\{ c\right\}
\]
הוכחה. הוכחה 1 - שימוש במונוטוניות של קצות הקטעים מסעיף1נובע שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{1}\leq a_{n}\leq b_{n}\leq b_{1}\), מכאן ש-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע ולכן ממשפט 5.2 נובע ששתיהן מתכנסות ומתקיים:\[
\alpha:=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sup\left\{ a_{n}\mid n\in\MKnatural\right\} ,\ \beta:=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\sup\left\{ b_{n}\mid n\in\MKnatural\right\}
\]מסעיף2ומאריתמטיקה של גבולות נובע שמתקיים:\[
\beta-\alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0
\]מכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\leq\alpha=\beta\leq b_{n}\), כלומר \(\alpha\in I_{n}\) ומכאן שגם:\[
\alpha\in\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}
\]יהי \(\begin{alignedat}{1}\gamma\in\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}\end{alignedat}
\), כלומר לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(\gamma\in I_{n}\) וממילא \(a_{n}\leq\gamma\leq b_{n}\); מכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(0\leq\left|\alpha-\gamma\right|\leq b_{n}-a_{n}\) ולכן ממשפט הכריך נובע ש-\(\alpha-\gamma=0\), כלומר \(\alpha=\gamma\).\[
\Rightarrow\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}=\left\{ \alpha\right\}
\]
הוכחה. הוכחה2- באמצעות למת החתכים מסעיף1נובע שלכל \(n,m\in\MKnatural\) כך ש-\(n\leq m\) מתקיים \(I_{m}\subseteq I_{n}\), כלומר \(a_{n}\leq a_{m}\leq b_{m}\leq b_{n}\), מכאן שלכל \(n,m\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\leq b_{m}\); נסמן \(A:=\left\{ a_{n}\mid n\in\MKnatural\right\} \) ו-\(B:=\left\{ b_{n}\mid n\in\MKnatural\right\} \), א"כ לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\) מתקיים \(a\leq b\). מסעיף2נובע שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(b_{n}-a_{n}<\varepsilon\), א"כ לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימים \(a\in A\) ו-\(b\in B\) כך ש-\(b-a<\varepsilon\). מכאן שע"פ למת החתכים קיים \(c\in\MKreal\) יחיד כך ש-\(a\leq c\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\), בפרט קיים \(c\in\MKreal\) יחיד המקיים \(a_{n}\leq c\leq b_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\) וזה שקול לכך שקיים \(c\in\MKreal\) יחיד המקיים \(c\in I_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\); יהי \(c\) כנ"ל ומכאן שמתקיים:\[
\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}=\left\{ c\right\}
\]
\(\:\)
6 תתי-סדרות וגבולות חלקיים
6.1 הגדרות
הגדרה 6.1. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה; נאמר שסדרה \(\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) היא תת-סדרה של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), אם קיימת סדרה \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) עולה ממש שכל איבריה טבעיים )סדרת אינדקסים( כך שלכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \(b_{k}=a_{n_{k}}\).
הגדרה 6.2. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה.
נאמר ש-\(\alpha\in\MKreal\) הוא גבול חלקי של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם יש ל-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תת-סדרה ש-\(\alpha\) הוא הגבול שלה,
כלומר קיימת סדרה \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) עולה ממש שכל איבריה טבעיים )סדרת אינדקסים( כך ש-\(\lim_{k\rightarrow\infty}a_{n_{k}}=\alpha\).
כמו כן נאמר ש-\(\pm\infty\) הוא גבול חלקי של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם יש ל-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תת-סדרה השואפת ל-\(\pm\infty\),
כלומר קיימת סדרה \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) עולה ממש שכל איבריה טבעיים )סדרת אינדקסים( כך ש-\(\lim_{k\rightarrow\infty}a_{n_{k}}=\pm\infty\).
הגדרה 6.3. לכל סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), אינדקס \(n\in\MKnatural\) יקרא אינדקס שיא אם לכל \(n<k\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{k}\leq a_{n}\).
\(\:\)
למה 6.4. תהא \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת פסוקים לוגיים ותהא \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרה עולה ממש שכל איבריה טבעיים )סדרת אינדקסים(. מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \(n_{k}\geq k\).
אם \(P_{n}\) מתקיים ממקום מסוים ואילך אז גם \(P_{n_{k}}\) מתקיים ממקום מסוים ואילך, כלומר: אם קיים \(N\in\MKnatural\) כך ש-\(P_{n}=\text{True}\) עבור כל \(N<n\in\MKnatural\) אז קיים \(K\in\MKnatural\) כך ש-\(P_{n_{k}}=True\) עבור כל \(K<k\in\MKnatural\).
אם \(P_{n_{k}}\) מתקיים ממקום מסוים ואילך אז \(P_{n}\) מתקיים באופן שכיח, כלומר: אם קיים \(K\in\MKnatural\) כך ש-\(P_{n_{k}}=\text{True}\) עבור כל \(K<k\in\MKnatural\) אז לכל \(N\in\MKnatural\) קיים \(N<n\in\MKnatural\) כך ש-\(P_{n}=\text{True}\).
למה 6.5. תהא \(A\subseteq\MKnatural\) קבוצה שאינה חסומה, קיימת סדרת אינדקסים )=שכל איבריה טבעיים( עולה ממש \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) כך שלכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \(n_{k}\in A\).
למה 6.6. תהא \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תת-סדרה של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ותהא \(\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תת-סדרה של \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), \(\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא תת-סדרה של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\).
משפט 6.7. משפט הירושה תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה,
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(\alpha\in\MKreal\) אז גם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות ל-\(\alpha\).
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שואפת ל-\(\pm\infty\) אז גם כל תתי-הסדרות שלה שואפות ל-\(\pm\infty\).
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מונוטונית אז גם כל תתי-הסדרות שלה מונוטוניות, ומאותו סוג מונוטוניות.
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) חסומה מלעיל אז גם כל תתי-הסדרות שלה חסומות מלעיל.
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) חסומה מלרע אז גם כל תתי-הסדרות שלה חסומות מלרע.
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) חסומה אז גם כל תתי-הסדרות שלה חסומות.
מסקנה 6.8. אם לסדרה יש שני גבולות חלקיים אז היא אינה מתכנסת.
טענה 6.9. מספר ממשי \(\alpha\) הוא גבול חלקי של סדרה אם"ם כל סביבה שלו מכילה אין-סוף איברים של סדרה זו. במילים אחרות: \(\alpha\) הוא גבול חלקי של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם"ם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) הקבוצה \(\left\{ n\in\MKnatural:\left|a_{n}-\alpha\right|<\varepsilon\right\} \) אינה חסומה.
מסקנה 6.10. מספר ממשי \(\alpha\)אינו גבול חלקי של סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם"ם קיים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך ש-\(\left|a_{n}-\alpha\right|\geq\varepsilon\) עבור \(n\) גדול דיו.
למה 6.11. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה שאינה חסומה מלעיל, לכל \(M\in\MKreal\) הקבוצה \(\left\{ n\in\MKnatural:a_{n}>M\right\} \) אינה חסומה מלעיל.
טענה 6.12. \(\pm\infty\) הוא גבול חלקי של סדרה אם"ם היא אינה חסומה מלעיל/מלרע )בהתאמה(.
טענה 6.13. לכל סדרה יש תת-סדרה מונוטונית.
הוכחה. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה ותהא \(I\) קבוצת אינדקסי השיא של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), כלומר \(I:=\left\{ n\in\MKnatural\mid\forall k\in\MKnatural:k>n\rightarrow a_{n}\geq a_{k}\right\} \); אם \(I\) אינה חסומה מלעיל )כלומר היא אינסופית( אז נסדר את האינדקסים שבה בסדר עולה ונקבל סדרת אינדקסים עולה ממש \(\left(n_{j}\right)_{j=1}^{\infty}\) כך שלכל \(k,k'\in\MKnatural\) המקיימים \(k'<k\) מתקיים \(a_{n_{k}}\leq a_{n_{k'}}\) ולכן הסדרה \(\left(a_{n_{j}}\right)_{j=1}^{\infty}\) היא תת-סדרה מונוטונית יורדת; אחרת, אם \(I\) חסומה מלעיל אז קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(n\notin I\) ולכן קיים \(n<j\in\MKnatural\) המקיים \(a_{n}<a_{j}\), מכאן שקיימת סדרת אינדקסים עולה ממש \(\left(n_{j}\right)_{j=1}^{\infty}\) כך ש-\(\left(a_{n_{j}}\right)_{j=1}^{\infty}\) יורדת ממש.
משפט 6.14. משפט בולצאנו-ויירשטראס )B.W. - Bolzano–Weierstrass(8ערכים בוויקיפדיה: בולצאנו ברנרד ו-ויירשטראס קארל. המשפט הוכח לראשונה על ידי ברנרד בולצאנו ב-1817 כטענת עזר בדרך להוכחת משפט ערך הביניים. חשיבות המשפט לא הוכרה אז והוא נשכח, עד שכחמישים שנה מאוחר יותר קארל ויירשטראס הוכיח אותו שוב באופן בלתי תלוי )ציטוט מוויקיפדיה בערך של המשפט(. לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.
הוכחה. ראינו שכל סדרה מונוטונית וחסומה היא סדרה מתכנסת ומהטענה הקודמת נובע שלכל סדרה חסומה יש תת-סדרה חסומה, לכן ממשפט הירושה נקבל שלכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.
\(\clubsuit\)
דרך נוספת להוכיח זאת היא ליצור סדרת קטעים העומדת בתנאי הלמה של קנטור שכל איבריה מכילים אינסוף מאיברי הסדרה )באמצעות בינארי חיפוש9ניקח את קטע שבו נמצאים כל איברי הסדרה )מהיותה חסומה נובע שקיים קטע כזה( - קטע זה יהיה האיבר הראשון בסדרת הקטעים, נחצה את הקטע לשניים, כעת אם בקטע המהווה את החצי הימני יש אין-סוף איברים של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) - נבחר בו בתור האיבר הבא בסדרה, אחרת בקטע המהווה את החצי השמאלי יש אין-סוף מאיברי \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ונבחר בו בתור הקטע הבא בסדרה; את התהליך הזה נבצע על כל קטע בסדרה כדי לקבל את הקטע הבא אחריו בסדרה וכך בעצם הגדרנו באופן אינדוקטיבי סדרת קטעים כנדרש.( ואז מהלמה של קנטור ומטענה6.6 נקבל גבול חלקי של הסדרה.
מסקנה 6.15. לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת במובן הרחב.
טענה 6.16. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרות חסומות, קיימת סדרת אינדקסים עולה ממש \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) כך ש-\(\left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n_{k}}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסות.
הוכחה. ממשפט בולצאנו-ויירשטראס נובע שקיימת סדרת אינדקסים עולה ממש \(\left(n_{j}\right)_{j=1}^{\infty}\) כך ש-\(\left(a_{n_{j}}\right)_{j=1}^{\infty}\) מתכנסת וממשפט הירושה נובע ש-\(\left(b_{n_{j}}\right)_{j=1}^{\infty}\) חסומה. ושוב, ממשפט בולצאנו-ויירשטראס נובע שקיימת סדרת אינדקסים עולה ממש \(\left(n_{j_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}\) כך ש-\(\left(b_{n_{j_{k}}}\right)_{k=1}^{\infty}\) היא סדרה מתכנסת וממשפט הירושה נובע ש-\(\left(a_{n_{j_{k}}}\right)_{k=1}^{\infty}\) היא סדרה מתכנסת; א"כ הסדרה \(\left(n_{j_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}\) מקיימת את הנדרש.
טענה 6.17. לכל סדרה שאינה מתכנסת כלל, כלומר כזו שאינה מתכנסת אפילו לא במובן הרחב, יש לפחות שני גבולות חלקיים במובן הרחב.
\(\:\)
7 גבול עליון וגבול תחתון
7.1 הגדרות
הגדרה 7.1. 10נושא זה נלמד באינפי'2)יורם לסט, סמסטר א' תשפ"ג(. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חסומה ותהא \(A\) קבוצת הגבולות החלקיים של סדרה זו11ממשפט בולצאנו-ויירשטראס נובע ש-\(A\) אינה ריקה ומכאן שיש לה סופרמום ואינפימום., \(\sup A\) ייקרא הגבול התחתון של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\inf A\) ייקרא הגבול התחתון של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\). נסמן:\[\begin{align*}
\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\lim}}a_{n} & :=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\sup A\\
\underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\lim}}a_{n} & :=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\inf A
\end{align*}\]
הגדרה 7.3. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה.
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אינה חסומה מלעיל נגדיר:\[
\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\lim}}a_{n}:=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\infty
\]
אם \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\) נגדיר12אחרת יש לקבוצת הגבולות החלקיים חסם תחתון והוא הגבול התחתון או שהיא אינה חסומה מלרע ואז )כפי שנראה בסעיף הבא( הגבול התחתון הוא \(-\infty\).:\[
\underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\lim}}a_{n}:=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\infty
\]
אם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אינה חסומה מלרע נגדיר:\[
\underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\lim}}a_{n}:=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=-\infty
\]
אם \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty\) נגדיר:\[
\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\lim}}a_{n}:=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=-\infty
\]
\(\clubsuit\)
כעת לכל סדרה יש גבול עליון וגבול תחתון.
\(\clubsuit\)
באופן כללי אין אריתמטיקה של גבולות עבור גבול עליון/תחתון, שהרי מדובר בגבול חלקי של הסדרה, כלומר גבול של תת-סדרה והאינדקסים של זו לא מוכרחים להסתדר עם האינדקסים המתאימים בסדרה האחרת; בנוסף ייתכן שתתי-סדרות אחרות הן שתהפוכנה לאלו שהגבול שלהן הוא הגבול העליון/תחתון לאחר הפעולה האריתמטית. בקובץ הטענות נראה פירוט ודוגמאות בנושא זה.
\(\:\)
7.2 אפיונים
משפט 7.4. 13משפט זה והבא אחריו נלמדו באינפי'2)יורם לסט, סמסטר א' תשפ"ג(. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חסומה ותהא \(A\) קבוצת הגבולות החלקיים של סדרה זו, ל-\(A\) יש מקסימום ומינימום ויתרה מזאת מתקיים:\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & {\color{blue}=}\max A{\color{red}\boldsymbol{=}}\inf\left\{ \sup\left\{ a_{n},a_{n+1},a_{n+2},...\right\} \mid n\in\MKnatural\right\} \\
\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & {\color{blue}=}\min A{\color{red}\boldsymbol{=}}\sup\left\{ \inf\left\{ a_{n},a_{n+1},a_{n+2},...\right\} \mid n\in\MKnatural\right\}
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
נשמע מסובך, לא? אנחנו מדברים כאן )תחזיקו חזק!( על החסם התחתון של קבוצת החסמים העליונים של קבוצות האיברים של הסדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) החל ממקום מסוים ואילך, אולי הכתיב הבא יהיה קצת יותר קומפקטי:\[\begin{align*}
& \inf\left\{ \sup\left\{ a_{n}:n\geq N\right\} \mid N\in\MKnatural\right\} \\
& \sup\left\{ \inf\left\{ a_{n}:n\geq N\right\} \mid N\in\MKnatural\right\}
\end{align*}\]על כל פנים בהוכחה נסביר טוב יותר מה הולך כאן )ראו בקובץ ההוכחות(.
\(\clubsuit\)
הדגש במשפט הוא על הקיום של גבול חלקי מקסימלי/מינימלי ועל סימני השוויון המודגשים באדום, אלו המסומנים בכחול נובעים ישירות מן ההגדרה של גבול עליון/תחתון שהרי לכל קבוצה המקסימום/מינימום שלה )אם הוא קיים( הוא גם הסופרמום/אינפימום שלה )בהתאמה(.
הוכחה. נוכיח את האי-שוויון השני, ההוכחה עבור הראשון דומה למדי. נוכיח ש-\(c:=\sup\left\{ \inf\left\{ a_{n},a_{n+1},a_{n+2},...\right\} \mid n\in\MKnatural\right\} \) הוא גבול חלקי של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) )כלומר שייך ל-\(A\)( ושהוא חסם מלרע של \(A\) ומכאן שהוא המינימום שלה. לכל \(n\in\MKnatural\) נסמן ב-\(b_{n}\) את \(\inf\left\{ a_{n},a_{n+1},a_{n+2},...\right\} \), נשים לב ש-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית עולה שהרי לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left\{ a_{n+1},a_{n+2},...\right\} \subseteq\left\{ a_{n},a_{n+1},a_{n+2},...\right\} \) ולכן האינפימום יכול רק לגדול, כלומר \(b_{n+1}\geq b_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\); בנוסף, מכיוון ש-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) חסומה גם \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) )שהיא סדרת החסמים התחתונים של זנבותיה( חסומה מלעיל ומכאן שהיא מתכנסת אל החסם העליון שלה )אותו סימנו לעיל ב-\(c\)(. כעת נזכור שלכל \(n\in\MKnatural\), \(b_{n}\) הוא החסם התחתון של \(\left(a_{k}\right)_{k=n}^{\infty}\), מכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) קיים \(n\leq k_{n}\in\MKnatural\) כך שמתקיים \(b_{n}\leq a_{k_{n}}\leq b_{n}+\frac{1}{n}\), וממשפט הכריך נובע שהסדרה \(\left(a_{k_{n}}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(c\). כאן יש לשים לב ש-\(\left(a_{k_{n}}\right)_{n=1}^{\infty}\) אינה בהכרח תת-סדרה של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\): ייתכן שהסדרה \(\left(k_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) חוזרת על עצמה ו/או אינה מסודרת לפי הסדר )כלומר שקיימים \(n,m\in\MKnatural\) המקיימים \(n<m\) כך שמתקיים \(k_{n}\geq k_{m}\)(, לכן עוד לא סיימנו להוכיח ש-\(c\in A\). נשים לב שהסדרה \(\left(k_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כוללת אינסוף טבעיים שונים: אילו היה בה מספר סופי של טבעיים שונים אזי היה להם מקסימום, כלומר היה קיים \(m\in\MKnatural\) כך שמתקיים \(m+1>k_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\) ובפרט עבור \(k_{m+1}\) בסתירה לצורה שבה נבנתה הסדרה, לכן אפשר לחלץ ממנה תת-סדרה עולה ממש \(\left(k_{n_{j}}\right)_{j=1}^{\infty}\); כעת נתבונן בסדרה \(\left(a_{k_{n_{j}}}\right)_{j=1}^{\infty}\) זוהי תת-סדרה של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אך זוהי גם תת-סדרה של \(\left(a_{k_{n}}\right)_{n=1}^{\infty}\), ממשפט הירושה נובע שהיא מתכנסת ל-\(c\) ומכאן ש-\(c\in A\). כעת נוכיח ש-\(c\) הוא חסם מלרע של \(A\) ובזה נסיים. יהי \(c>d\in\MKreal\), מהיות \(c\) החסם העליון של \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) נובע שקיים \(N\in\MKnatural\) כך שמתקיים \(c\geq b_{N}>d\), ומכיוון ש-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית עולה נובע מזה שלכל \(N\leq n\in\MKnatural\) מתקיים \(\inf\left\{ a_{n},a_{n+1},a_{n+2},...\right\} =b_{n}\geq b_{N}\) ולכן גם \(a_{n}\geq b_{N}\) ומכאן ש-\(\left|a_{n}-d\right|>b_{N}-d>0\). כלומר קיימים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ו-\(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\notin B_{\varepsilon}\left(d\right)\) ומכאן ש-\(d\) אינו גבול חלקי של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), כלומר \(d\notin A\). \(d\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן שלכל \(c>d\in\MKnatural\) מתקיים \(d\notin A\), כלומר \(\sup\left\{ \inf\left\{ a_{n},a_{n+1},a_{n+2},...\right\} \mid n\in\MKnatural\right\} =c=\min A\).
משפט 7.5. אפיון נוסף לגבול עליון ולגבול תחתון
תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה שיש לה גבול עליון, מספר ממשי \(M\in\MKreal\) הוא הגבול העליון של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם"ם:
לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) האי-שוויון \(M-\varepsilon<a_{n}\) מתקיים באופן שכיח
האי-שוויון \(M+\varepsilon>a_{n}\) מתקיים כמעט תמיד
תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה שיש לה גבול עליון, מספר ממשי \(m\in\MKreal\) הוא הגבול התחתון של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם"ם:
לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) הא"ש \(m+\varepsilon>a_{n}\) מתקיים באופן שכיח
האי-שוויון \(m-\varepsilon<a_{n}\) מתקיים כמעט תמיד
7.3 סדר
\(\clubsuit\)
כמעט כל הטענות שבסעיף זה והבא אחריו נלקחו מהספר "אינפיניטסימלי חשבון" שכתב מיכאל הוכמן יחד עם יונתן הראל, איתי וייס ואופק שילון. זהו נושא מבלבל מאד ולכן אשנה מהרגלי ואביא דוגמאות רבות המראות שבאופן כללי אין אריתמטיקה של גבולות עבור גבול עליון/תחתון ואפילו כדי שישתמר יחס סדר צריכים להתקיים תנאים מסוימים.
\(\clubsuit\)
בכל הטענות שלהלן ניתן להסתפק בחסימות מלעיל/מלרע בשביל הגבול העליון/התחתון, דרשנו חסימות מלעיל ומלרע כדי שנוכל לדבר על שניהם יחד.
טענה 7.6. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שתי סדרות חסומות, אם מתקיים \(a_{n}\leq b_{n}\) ממקום מסוים ואילך אז מתקיים גם:\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & \leq\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
\(\:\)\(\:\)\(\:\)\(\:\)
דוגמה 7.7. נשים לב שאי אפשר לומר שמתקיים:\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\]לדוגמה:\[
a_{n}:=\begin{cases}
1 & n\in\MKodd\\
3 & n\in\MKeven
\end{cases},\ b_{n}:=\begin{cases}
2 & n\in\MKodd\\
4 & n\in\MKeven
\end{cases}
\]
טענה 7.8. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שתי סדרות חסומות, מתקיים:\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & \geq\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
\(\:\)\(\:\)\(\:\)\(\:\)
דוגמה 7.9. נשים לב שלא מתקיימים בהכרח שוויונות, לדוגמה:\[
a_{n}:=\left(-1\right)^{n},\ b_{n}:=\left(-1\right)^{n+1}
\]\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & 0<2=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & 0>-2=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
הוכחה. נסמן ב-\(A\) את קבוצת הגבולות החלקיים של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), ב-\(B\) את זו של \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וב-\(C\) את קבוצת הגבולות החלקיים של \(\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), מהגדרה שלוש הקבוצות חסומות ומכאן שיש לכל אחת מהן סופרמום ואינפימום; כמו כן, מהגדרה ומאריתמטיקה של גבולות נובע ש-\(C\subseteq A+B\).\[\begin{align*}
\Rightarrow\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\sup C\leq\sup\left(A+B\right)=\sup A+\sup B=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\Rightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\inf C\geq\inf\left(A+B\right)=\inf A+\inf B=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
טענה 7.10. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שתי סדרות חסומות ואי-שליליות, מתקיים:\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & \geq\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
דוגמה 7.11. נשים לב שלא מתקיימים בהכרח שוויונות, לדוגמה:\[
a_{n}:=\begin{cases}
1 & n\in\MKodd\\
2 & n\in\MKeven
\end{cases},\ b_{n}:=\begin{cases}
2 & n\in\MKodd\\
1 & n\in\MKeven
\end{cases}
\]\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & =2<4=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & =2>1=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
\(\:\)\(\:\)\(\:\)\(\:\)
דוגמה 7.12. אם נרשה לסדרות להיות אי-שליליות נוכל אפילו להפוך את כיווני האי-שוויונות, לדוגמה:\[
a_{n}:=b_{n}:=\begin{cases}
1 & n\in\MKodd\\
-2 & n\in\MKeven
\end{cases}
\]\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & =4>1=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & =1<4=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
הוכחה. ההוכחה זהה לזו של הטענה הקודמת )עד כדי החלפת החיבור בכפל(, כאשר המעברים:\[\begin{align*}
\sup\left(A+B\right) & =\sup A+\sup B\\
\inf\left(A\cdot B\right) & =\inf A\cdot\inf B
\end{align*}\]מוצדקים משום שמדובר בקבוצות אי-שליליות.
7.4 אריתמטיקה
טענה 7.13. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שתי סדרות חסומות, מתקיים:\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right) & =-\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right) & =-\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}
\end{align*}\]
טענה 7.14. 14טענה זו נלמדה באינפי'2)יורם לסט, סמסטר א' תשפ"ג(. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חסומה וחיובית, מתקיים:\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{a_{n}}\right) & =\frac{1}{\begin{alignedat}{1}\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right)\end{alignedat}
}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{a_{n}}\right) & =\frac{1}{\begin{alignedat}{1}\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right)\end{alignedat}
}
\end{align*}\]
טענה 7.15. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מתכנסת לגבול \(l\in\MKreal\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חסומה, מתקיים:
הוכחה. נסמן ב-\(B\) את קבוצת הגבולות החלקיים של \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וב-\(C\) את זו של \(\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), מאריתמטיקה של גבולות נובע שמתקיים \(C=\left\{ l\right\} +B\) )ראו הוכחה דומה ומפורטת בטענה הבאה(.\[\begin{align*}
\Rightarrow\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\sup C=\sup\left(\left\{ l\right\} +B\right)=l+\sup\left\{ B\right\} =l+\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\inf C=\inf\left(\left\{ l\right\} +B\right)=l+\inf\left\{ B\right\} =l+\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
טענה 7.16. תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מתכנסת לגבול \(0\leq l\in\MKreal\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חסומה, מתקיים:\[\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & =l\cdot\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right) & =l\cdot\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
הוכחה. ראשית נשים לב לכך שאם \(l=0\) אז הטענה נובעת ישירות מכלל אפסה וחסומה, א"כ נוכל להניח ש-\(l>0\). נסמן ב-\(B\) את קבוצת הגבולות החלקיים של \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וב-\(C\) את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה \(\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ונרצה להוכיח שמתקיים \(C=\left\{ l\right\} \cdot B\). יהי \(b\in B\) ותהא \(\left(n_{k}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת אינדקסים עולה ממש כך ש-\(\lim_{k\rightarrow\infty}b_{n_{k}}=b\), מאריתמטיקה של גבולות וממשפט הירושה נובע שמתקיים:\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\left(a_{n_{k}}\cdot b_{n_{k}}\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}a_{n_{k}}\cdot\lim_{k\rightarrow\infty}b_{n_{k}}=l\cdot b
\]\[
\Rightarrow l\cdot b\in C
\]\(b\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן ש-\(\left\{ l\right\} \cdot B\subseteq C\). יהי \(c\in C\) ותהא \(\left(n_{j}\right)_{j=1}^{\infty}\) סדרת אינדקסים עולה ממש כך ש-\(\lim_{j\rightarrow\infty}\left(a_{n_{j}}\cdot b_{n_{j}}\right)=c\), מאריתמטיקה של גבולות וממשפט הירושה נובע שמתקיים15\(l>0\) ולכן \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) חיובית ממקום מסוים ואילך.:\[
\lim_{j\rightarrow\infty}b_{n_{j}}=\lim_{j\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{a_{n_{j}}}\cdot a_{n_{j}}\cdot b_{n_{j}}\right)=\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n_{j}}}\cdot\lim_{j\rightarrow\infty}\left(a_{n_{j}}\cdot b_{n_{j}}\right)=l^{-1}\cdot c
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow l^{-1}\cdot c\in B\\
& \Rightarrow c\in l\cdot B
\end{align*}\]\(c\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן ש-\(C\subseteq\left\{ l\right\} \cdot B\).\[
\Rightarrow C=\left\{ l\right\} \cdot B
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=\sup C=\sup\left(\left\{ l\right\} \cdot B\right)=l\cdot\sup B=l\cdot\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}\\
& \Rightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=\inf C=\inf\left(\left\{ l\right\} \cdot B\right)=l\cdot\inf B=l\cdot\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}
\end{align*}\]
הגדרה 8.1. נאמר שסדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרת קושי אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n,m\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon\).
טענה 8.2. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מתכנסת ותהא \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י \(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\), הסדרה \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(0\).
\(\clubsuit\)
הדוגמה הבאה מפריכה את הכיוון ההפוך ולכן אנו נזקקים לתנאי קושי.
\(\clubsuit\)
הרעיון שמאחורי תנאי קושי16שאם כולם מתקרבים לגבול אז כולם מתקרבים לכולם ואם כולם מתקרבים לכולם אז כולם מתקרבים לגבול. תקף כמעט עבור כל סוגי הגבולות ואנחנו נפגש בגרסאות רבות שלו בקורס הבא17ראו כאן הוכחה כללית לשקילות בין כל סוגי הגבולות לכל תנאי קושי המתאימים..
דוגמה 8.3. נתבונן בסדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) המוגדרת ע"י \(a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) )לכל \(n\in\MKnatural\)(, אכן מתקיים ש-\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\) אך למרות זאת \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\).
הוכחה. יהי \(M\in\MKreal\), מארכימדיות של \(\MKreal\) נובע שקיים \(N\in\MKnatural\) כך ש-\(M<\frac{N}{2}\), יהי \(N\) כנ"ל. נשים לב שלכל \(2^{N}<n\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} & >\left(1\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{15}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2^{N-1}}+\frac{1}{2^{N-1}+1}\ldots+\frac{1}{2^{N}-1}\right)\\
& >1+2\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{8}+8\cdot\frac{1}{16}+\ldots+2^{N-1}\cdot\frac{1}{2^{N}}=1+\left(N-1\right)\cdot\frac{1}{2}>\frac{N}{2}>M
\end{align*}\]\(M\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל נכון לכל \(M\in\MKreal\) ומהגדרה \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\).
משפט 8.4. תנאי קושי להתכנסות סדרות תנאי הכרחי ומספיק לכך שסדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תתכנס הוא שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n,m\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon\). כלומר כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי וכל סדרת קושי היא סדרה מתכנסת.
הוכחה. \(\:\)
\(\Leftarrow\) תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המתכנסת לגבול \(L\in\MKreal\) ויהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), מהיותה סדרה מתכנסת נובע שקיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n,m\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}\) וגם \(\left|a_{m}-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}\), יהי \(N\) כנ"ל.\[
\Rightarrow\left|a_{n}-a_{m}\right|=\left|a_{n}-L+L-a_{m}\right|\leq\left|a_{n}-L\right|+\left|L-a_{m}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל נכון לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\).
\(\Rightarrow\) תהא \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המקיימת את תנאי קושי, א"כ קיים \(N_{1}\in\MKnatural\) כך שלכל \(N_{1}<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|b_{N_{1}+1}-b_{n}\right|<1\) ולכן גם \(\left|b_{n}\right|<\left|b_{N_{1}+1}\right|+1\), א"כ \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה חסומה ולכן ממשפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת-סדרה חסומה. תהא \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרת אינדקסים עולה ממש כך ש-\(\left(b_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}\) מתכנסת לגבול \(L'\in\MKreal\). יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), מתנאי קושי נובע שקיים \(N_{2}\in\MKnatural\) כך שלכל \(N_{2}<n,m\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|b_{n}-b_{m}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\); יהי \(N_{2}\) כנ"ל ויהי \(k\in\MKnatural\) כך ש-\(N_{2}<n_{k}\) וגם \(\left|b_{n_{k}}-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}\), וא"כ לכל \(N_{2}<n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|b_{n}-L'\right|=\left|b_{n}-b_{n_{k}}+b_{n_{k}}-L'\right|\leq\left|b_{n}-b_{n_{k}}\right|+\left|b_{n_{k}}-L'\right|=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל נכון לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ומהגדרה \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(L'\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );